MATEMATIKA: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Jakarta, 2 Februari 2021

BY. DAVIN ILHAM WIJAYA (10)

XI - IPS - 2

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DAN GARIS NORMAL

Perhatikan gambar berikut ini:

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

CONTOH SOAL :

1. Persamaan garis singgung fungsi $f (x) = 2 + x - x^{2}$ pada titik $(1, 2)$ adalah…

Pembahasan :

Titik $(1, 2)$ berada pada kurva $f (x)$

$f (x) = 2 + x - x^{2}$

$f^{'} (x) = m = 1 - 2 x$

$(1, 2) \to m_{g s} = 1 - 2 (1) = - 1$

Persamaan garis singgung :

$y - 2 = - 1 (x - 1)$

$y - 2 = - x + 1$

$x + y - 3 = 0$

2. Diketahui fungsi $y = x^{3} - 2 x^{2} + 4$ . Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 adalah…

Pembahasan :

$y = x^{3} - 2 x^{2} + 4$

$x = 1 \Rightarrow$ $\begin{aligned} y & = (2)^{3} - 2 (2)^{2} + 4 \\ = 4 \end{aligned}$

$y^{'} = 3 x^{2} - 4 x$

$\begin{aligned} y^{'} & = m \\ = 3 (2)^{2} - 4 (2) \\ = 12 - 8 \\ = 4 \end{aligned}$

Jadi persamaan garis singgung di titik $(2, 4)$ bergradien $4$ adalah :

y - 4 = 4 ( x -2 )

y - 4 = 4x - 8

y = 4x - 4

3. Jika garis singgung pada $y - 3 x^{2} = 0$ sejajar dengan garis singgung pada $y - 2 x^{2} - 6 x = 0$ koefieisen arah garis singgung tersebut adalah…

a. 2

b. 14

c. 16

d. 18

e. 20

Pembahasan :

$y - 3 x^{2} = 0$ ⇒y=3 $\Rightarrow y = 3 x^{2}$

$y^{'} = 6 x$ ….(1)

$y - 2 x^{2} - 6 x = 0$

$\Rightarrow y = 2 x^{2} + 6 x$

$y^{'} = 4 x + 6$ ….(2)

Karena garis singgung dari dua kurva tersebut sejajar, maka memiliki gradien yang sama, sehingga dari pers (1) dan (2):

$6 x = 4 x + 6$

$2 x = 6$ ⇒x=3 $\Rightarrow x = 3$

Jika $x = 3$ , maka

$\begin{aligned} y^{'} & = m \\ = 6 (3) \\ = 18 \end{aligned}$

Jadi koefisien arah garis singgung adalah $18.$ maka jawabannya adalah d. 18

4. Dalam daerah yang dibatasi oleh parabola

y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3 \frac{3}{4}

dan garis

y = x

ditarik garis garis yang sejajar dengan sumbu

y

, Jarak terbesar terbesar kedua titik potong garis garis tersebut adalah…

Pembahasan :

Jarak titik garis – garis tersebut adalah :

$y_{p a r a b o l a} - y_{g a r i s}$ =− $= - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 3 \frac{3}{4} - x$

$d (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + 3 \frac{3}{4}$

$d (x)$ maksimum ketika $d^{'} (x) = 0$

$d^{'} (x) = 0$

5. Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Pembahasan :

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20  y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)
Persamaan Garis singgung
m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y - y1 = m(x - x1)
y - 8 = 4(x - 2)
y - 8 = 4x - 8
y = 4x  Persamaan garis singgung
Persamaan garis normal
gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal
Garis normal bergardien  melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis Normalnya adalah