MATEMATIKA ARITMATIKA KELAS 11

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

2 November 2020

Aritmatika atau aritmetika yaitu kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.

BARISAN ARITMATIKA

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut. 

Keterangan:
b = beda;
U_n= suku ke-n;
U_n+1= suku sebelum suku ke-n; dan
n= banyaknya suku.

1. Bentuk barisan aritmetika

Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.

Keterangan:

U_n+1= suku ke-(n +1);

U_n = suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

 

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:

U₁,  U₂,  U₃,  …,   U_n-2,   U_n-1,   U_n

 a,     a+b, a+2b,   …, a+n-3b,   a+n-2b,   a+n-1b

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika dapat dirumuskan 

sebagai berikut.

Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:

b’= beda barisan aritmetika baru;

b= beda barisan aritmetika lama;

k= banyak bilangan yang disisipkan;

n‘= banyak suku barisan aritmetika baru; dan

n= banyak suku barisan aritmetika lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

2. Suku ke-n barisan aritmetika

Saat Quipperian diminta untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmetika, cara termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai suku ke-n. Namun, cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan banyak waktu. Jika yang diminta suku ke-10 mungkin masih bisa. Bagaimana jika yang diminta suku ke-1000? Kebayang kan betapa rumitnya? Untuk itu, rumus suku ke-n yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut.

 

Keterangan:

a = suku awal (U1);

U_n= suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Agar kamu lebih paham, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 2

b = 6 – 2 = 4

Ditanya: U₂₀ =…?

Pembahasan:

3. Suku tengah barisan aritmetika

Jika Quipperian menemukan barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil, pasti barisan aritmetika tersebut memiliki suku tengah (U_t). Secara matematis, U_t dirumuskan sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal 2

Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya!

Pembahasan:

Diketahui:

U_t = 15

n = 11

Ditanya: U_n =…?

Pembahasan:

Pertama, Quipperian harus mencari nilai t.

Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U₆ = 15.

Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi.

Substitusikan nilai b ke persamaan (1).

 Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut.

Jadi, suku terakhirnya adalah 60.

DERET ARITMATIKA

Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmetika disebut dengan deret aritmetika.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah sebagai berikut.

Substitusikan Un=a+(n-1) b, sehingga diperoleh:

Misalkan Sn-1= U₁ +U₂+ U₃+ … +U_n-1 dan S_n=U₁+U₂+ U₃+…+U_n-1+U_n. Ini berarti, hubungan antara S_n-1 dan U_n adalah sebagai berikut.

Mungkin terasa hambar jika belum dilengkapi contoh soal ya? Tak usah khawatir, berikut ini contoh soal berkaitan dengan deret aritmetika.

Contoh soal 3

Berapakah jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100?

Pembahasan:

Jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah sebagai berikut.

Keterangan:

a = 12

banyaknya suku = 30

 

Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah 1.665.

Contoh soal  4

Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Jawab:

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

Contoh soal  5

Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikan sebesar Rp 5.000,00 jika gaji pertama gajian tersebut Rp. 100.000 …..

a). Rp. 1.205.000

b). Rp. 1.255.000

c). Rp. 260.000.000

d). Rp. 1.530.000

e). Rp. 1.525.000

Penyelesaian :

Sn =  n (2a + (n-1) b

      =  12 (2 . 100.000) +(12-1)5000

      = 6 (200.000+55.000)

      = 6 (225.000) = 1.530.000

Jawabannya : d). Rp. 1.530.000

TERIMAKASIH, SEMOGA BERMANFAAT......

Daftar Pustaka :

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-matematika-kelas-11/

https://www.gurupendidikan.co.id/deret-aritmatika/