NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

9 Februari 2021

By. Davin Ilham Wijaya (10)

XI IPS 2

Pada kesempatan ini akan kita bahas tentang..........

Cara Menentukan Interval Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner, yo check it out !

Grafik naik, turun, stasioner

Pada gambar di atas, terlihat bahwa :

• Grafik fungsi f(x) naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e, 
• Sedangkan pada intereval b < x < c grafik fungsi turun,
• Dan pada interval c < x < d grafik f(x) tidak naik dan tidak turun (stasioner).

1. Cara Menentukan Interval Fungsi Naik

Misalkan diberikkan fungsi y = f(x). Apabila suatu integral nilai x mengakibatkan f'(x) > 0 maka f(x) "fungsi naik" pada interval tersebut. Hal ini disebabkan karena gradien persamaan garis singgung pada titik tersebut adalah positif, yaitu garis-garis singgungnya condong ke kanan. Dalam hal ini, dikatakan bahwa fungsi f(x) naik.

2. Cara Menentukan Interval Fungsi Turun

Misalkan diberikan fungsi f(x). Apabila suatu interval nilai x mengakibatkan f'(x) < 0 maka f(x) fungsi turun pada interval tersebut. Hal ini disebabkan gradien persamaan garis singgung pada titik-titik tersebut adalah negative, yaitu garis singgungnya condong ke kiri). Maka dikatakan bahwa fungsi f(x) turun.

3. Cara Menentukan Interval Fungsi Stasioner

Apabila suatu nilai x mengakibatkan f'(x) = 0 maka f(x) stasioner (tidak naik ataupun tidak turun). Hal ini disebabkan karena gradien persamaan garis singgung pada titik tersebut adalah 0, yaitu garis singgungnya mendatar. Maka dapat dikatakan bahwa f'(x) stasioner.

SOAL PILIHAN GANDA NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

1. Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$$\mathrm{Pembahasan\; :Diketahui\; g}\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$
(Jawaban C)

2. Grafik fungsi $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$ tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x\le -2$ atau $x\ge 6$
B. $x\le 2$ atau $x\ge 6$
C. $x<2$ atau $x\ge 6$
D. $x\le 2$ atau $x>6$
E. $x<2$ atau $x>6$$\mathrm{Pembahasan\; :Diketahui\; :\; p}\left(x\right)=x(6-x{)}^2$. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $x\le 2\text{atau}x\ge 6$
(Jawaban B)

3. Interval 

$x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$

Pembahasan :

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$, sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah $1<x<3$
(Jawaban C)

4. Diberikan fungsi $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$. Nilai-nilai $x$ dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi $R\left(x\right)$ $\cdots \cdot$
A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

Pembahasan :

Diketahui $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$.
Turunan pertamanya adalah $R^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R^{\prime }\left(x\right)=0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-6x+3& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-2x+1& =0\\ (x-1{)}^2& =0\\ x& =1\end{array}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1{)}^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R\left(x\right)$ tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.

5. Grafik fungsi 

$f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$ akan selalu naik dalam interval $0<x<2$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $\frac{1}{3}$                 E. $3$
B. $-\frac{1}{3}$                    D. $1$

Pembahasan :

Diketahui $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$ dan $f\left(x\right)$ selalu naik di $0<x<2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cccc}(x-0)(x-2)& <0& & \\ x(x-2)& <0& & \\ x^2-2x& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2x$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cccc}3a{x}^2+2x& >0& & \\ \text{Kedua ruas dikali}& \text{dengan}-1& & \\ -3a{x}^2-2x& <0& & (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-2x& <0\\ -3a{x}^2-2x& <0\end{array}$
Diperoleh $-3a=1\Rightarrow a=-\frac{1}{3}$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $-\frac{1}{3}$ 
(Jawaban B)

Daftar Pustaka :

https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/cara-menentukan-interval-fungsi-naik-turun-dan-stasioner.html