MATEMATIKA MATRIKS

 

MATRIKS

 

PENGERTIAN MATRIKS

MATRIKS adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom (atau membentuk pola persegi panjang), dan ditempatkan didalam kurung biasa atau kurung siku. Bilangan – bilangan pembentuk matriks disebut elemen – elemen matriks.

 Contoh mudah matriks yang dapat dilihat :

Ilustrasi di atas dapat kamu baca seperti ini: a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

 

JENIS-JENIS MATRIKS

Untuk mengetahui matriks dalam matematika lebih dalam, ada beberapa jenis matriks yang perlu kamu ketahui. Jenis-jenisnya adalah:

1. Matriks nol             : matriks yang semua elemennya adalah nol.

2. Matriks baris         : matriks yang hanya memiliki satu baris.

3. Matriks kolom      : matriks yang hanya memiliki satu kolom.

4. Matriks persegi    : matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

5. Matriks identitas : matriks konstanta dengan elemen diagonal utama adalah 1.

6. Matriks scalar

Matriks skalar adalah salah satu jenis matriks yang elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya adalah bernilai nil. Contohnya : F =  4 0 0 0 4 0 0 0 4

7. Transpose matriks.

Matriks selalu dilambangkan dengan huruf capital,  Misalnya lambang satu matriks adalah A. Transpose dari matriks A dilambangkan dengan A’ (dengan tanda petik satu di atasnya). Transpose sendiri dilakukan dengan meletakkan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A’, begitu juga sebaliknya.

contoh transpose matriks di bawah ini:

OPERASI PADA MATRIKS

1.    Penjumlahan matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dan matriks B. Jika matriks C adalah matriks penjumlahan dari A dengan B, maka matriks C dapat diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen pada matriks A yang seletak dengan setiap elemen pada matriks B. Oleh karena itu, syarat agar dua atau lebih matriks dapat dijumlahkan adalah harus memiliki ordo yang sama.

Contoh:

Hasil dari A + B dapat diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B.

Selanjutnya ada operasi pengurangan matriks. Tapi, sebelum masuk ke bahasan tentang operasi pengurangan matriks, kamu harus tahu dulu istilah tentang lawan suatu matriks.  Namanya juga lawan. Pasti antara matriks yang satu dengan matriks yang lain akan saling bertentangan. Kalau yang satu nilainya positif, pasti yang satu lagi nilainya bakal negatif. Jadi, kalau ada matriks A, maka lawan matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A tersebut. 

A = [a_ij], lawan matriks A ditulis -A = [-a_ij]

 

2. Pengurangan matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dan matriks B. Jika matriks C adalah matriks pengurangan dari A dengan B, maka matriks C dapat diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen pada matriks A yang seletak dengan setiap elemen pada matriks B.

Pada dasarnya, pengurangan sama halnya dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah, sehingga pengurangan matriks A dengan matriks B dapat diartikan sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B.

A - B = A + (-B)

Sama halnya dengan syarat penjumlahan matriks, dua atau lebih matriks hanya dapat dikurangkan apabila memiliki ordo yang sama.

Contoh :

Hasil dari A - B dapat diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B. 

3. Perkalian matriks dengan bilangan real (skalar)

Misalkan terdapat matriks A berordo m × n dan suatu bilangan real (skalar), yaitu k. Perkalian antara matriks A dengan skalar k dapat ditulis dengan kA yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k.

Perkalian suatu matriks dengan skalar dapat dilakukan tanpa syarat tertentu. Artinya, semua matriks dengan ordo sembarang dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar).

4. Perkalian matriks dengan matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dengan ordo m × p dan matriks B dengan ordo p × n. Perkalian matriks A dengan matriks B dapat ditulis dengan A × B yang diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B, dengan i = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n.

Syarat agar dua buah matriks dapat dikalikan adalah matriks pertama harus memiliki jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Ordo matriks hasil perkalian dua buah matriks adalah jumlah baris pertama dikali jumlah kolom ke dua.

Contoh:

 

Jumlah kolom matriks A adalah 2 dan jumlah baris matriks B adalah 2. Matriks A memiliki jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris matriks B, sehingga syarat perkalian antarmatriks sudah terpenuhi.

Selanjutnya, kita dapat mengalikan setiap elemen baris di matriks A dengan setiap elemen kolom di matriks B. Coba kamu perhatikan lingkaran berwarna pada tiap-tiap elemen matriks di bawah ini, ya. Lingkaran merah dipasangkan dengan lingkaran merah dan lingkaran biru dipasangankan dengan lingkaran biru.

Jadi, a₁₁ akan dikalikan dengan b₁₁, a₁₂ dikalikan dengan b₂₁, a₂₁ dikalikan dengan b₁₁, dan a₂₂ dikalikan dengan b₂₁.

Lalu, jumlahkan hasil kali elemen-elemennya menjadi seperti ini:

Sehingga, hasil kali matriks A dengan matriks B adalah sebagai berikut:

Contoh Soal Matriks Beserta Pembahasannya

1. Diketahui

 A =  , B =  , C =  ,

Tentukan :

• A + B = ?
• A + C = ?

Penyelesaian :

• A + B =  = 
• A + C =  

tidak dapat dijumlah karena ordonya tidak sama.

2. Jika A =   B =  adalah =….

Penyelesaian :

• B – A =  – 
• B – A =  = 

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan sebuah matriks yaitu :

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A – B ≠ B – A

3. Jika matriks  dan   invers, 

tentukan nilai x ?

Penyelesaian :

Diketahui bahwa kedua matriks diatas tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA^-1 = A^-1A = I.

Maka :

Sehingga pada elemen baris ke-1 pada kolom ke-1 memiliki persamaan yaitu :

• 9(x -1) – 7x = 1
• 9x – 9 – 7x = 1
• 2x = 10
• x = 5

Jadi, nilai x adalah = 5

4. Tentukan nilai x, y, dan z berikut ini, jika :

Penyelesaian :

Maka :
z = 1 ………………………………….……..(1)
–2y – 4x = –10
y + 2x = 5

y = 5 – 2x ..…………………………. (2)
6y + 2x = 3x + 4
6y + 2x – 3x = 4

6y – x = 4 …………………………… (3)

(2) akan disubtitusikan ke (3), sehingga menjadi :

6(5 – 2x) – x = 4
30 – 12x – x = 4
–13x = –26 maka x = 2
y = 5 – 2(2) = 1
z = 1

 

Daftar Pustaka :

https://rumus.co.id/contoh-soal-matriks/

https://blog.ruangguru.com/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose