PEMBUKTIAN : LANGSUNG, TIDAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

PEMBUKTIAN : LANGSUNG, TIDAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Pembuktian langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan, misalnya : “kalau A maka B dan kalau B maka C”. Untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar.

Contoh 1 :

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

Misalnya,  2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14      ➨   terbukti

 

Contoh 2 :

Misalnya ada bilangan genap sembarang m dan n. Dari definisi bilangan genap, m dan n dapat ditulis

m = 2k, dengan k adalah suatu bilangan bulat.

n = 2i, dengan i adalah suatu bilangan bulat.

m + n = 2k + 2i

          = 2 (k + i), (k + I ) juga bilangan bulat

M dan n dapat ditulis jadi 2 kalisuatu bilangan bulat. Sesuai definisi bilangan genap, maka m + n bilangan genap juga     ➨   terbukti

Contoh 3 :

 Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n²  adalah ganjil.

Jawab

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1.

Akan ditunjukkan bahwa n² ganjil.

 n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) +1.

 Perhatikan bahwa n²= 2(2k² + 2k) +1

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n²  adalah ganjil   ➨    terbukti

Pembuktian Tidak Langsung

 

Pembuktian tidak langsung / kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

           Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan

           kebenaran kontraposisinya.

Misalnya : p = n²  bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

           Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan                  dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n²  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.

 

Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan                  bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedang dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar

maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh 1 : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

            P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k²,

maka

      1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

                                                           = k² + 2k + 1

                                                           = (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Contoh 2 :

 Misalnya:

Jumlah dari n bilangan ganjil yang pertama adalah suatu bilangan kuadrat sempurna,

yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²

 Perhatikan bahwa

 Untuk n = 1; 1 = 1

 Untuk n = 2; 1 + 3 = 4

 Untuk n = 3; 1 + 3 + 5 = 9

 Untuk n = 4; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, ... dst.

 Persamaan ini akan dibuktikan selalu benar untuk semua nilai n = anggota himpunan bilangan asli.

Ada dua langkah dalam induksi matematika:

1.       Langkah dasar, yaitu: 

Tunjukkan bahwa p(0) berlaku, yaitu untuk satu kasus, p(n) akan bernilai benar

2.       Langkah induksi

Tunjukkan p(k+1) bernilai benar jika diketahui p(k) benar

 Jika dua langkah di atas dapat ditunjukkan, maka pernyataan awal yaitu p(n) terbukti valid.

Daftar Pustaka: sumber: https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika