LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA
BY. DAVIN ILHAM WIJAYA KELAS XI IPS 2

 

Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Hal-hal pada logika matematika yang akan kita pelajari kali ini antara lain mengenai pernyataan, ingkaran, hubungan antara dua kalimat atau lebih serta bagaimana menarik kesimpulan dari kalimat-kalimat yang diberikan. Yuk, simak ulasannya di bawah ini.

Pernyataan
Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.
Contoh:

• 8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar
• 4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
• 5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
• Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Ingkaran/negasi/penyangkalan (~)

Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan”. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran:

B = pernyataan bernilai benar
S = pernyataan bernilai salah

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:

• p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)

• ~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).

Contoh lain:

• p: Semua unggas adalah burung.

• ~p: Ada unggas yang bukan burung.

Konjungsi (^)
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”.

Tabel nilai kebenaran konjungsi:

Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.
Contoh:

• p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)

• q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)

• p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)

Disjungsi (V)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”.

Tabel nilai kebenaran disjungsi:

 Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Contoh:

• p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)

• q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)

• pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)

Implikasi (->)
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”. 

Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi:

 Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.
Contoh:

• p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)

• q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)

• p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)

Biimplikasi (<->)
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:

Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:

• p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)

• q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)

• p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi adalah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah ““.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

bentuk ekuivalen tabel kebenaran

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran Konjungsi: 

Ingkaran Disjungsi: 

Ingkaran Implikasi: 

Ingkaran Biimplikasi: 

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:

Konvers dari   adalah 

Invers dari    adalah  

Kontraposisi dari   adalah  

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

penarikan kesimpulan logika matematika

Contoh Soal Logika Matematika:

Soal 1:

Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas

Premis 2 : Andi rajin belajar

Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:

Premis 1               : 

Premis 2               : p

Kesimpulan          : q (modus ponens)

Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Soal 2:

Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur

Premis 2   : sekolah tidak libur

Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:

Premis 1               : 

Premis 2               : 

Kesimpulan          : ( tollens)

Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Soal logika matematika 3:

Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah

Premis 2   : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku

Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:

Premis 1               : 

Premis 2               : 

Kesimpulan          : (silogisme)

Jadi kesimpulannya : Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

TABEL LOGIKA MATEMATIKA