PEMBUKTIAN : LANGSUNG, TIDAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA

Pembuktian langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan, misalnya : “kalau A maka B dan kalau B maka C”. Untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar.

Contoh 1 :

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

Misalnya, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14 ➨ terbukti

Contoh 2 :

Misalnya ada bilangan genap sembarang m dan n. Dari definisi bilangan genap, m dan n dapat ditulis

m = 2k, dengan k adalah suatu bilangan bulat.

n = 2i, dengan i adalah suatu bilangan bulat.

m + n = 2k + 2i

= 2 (k + i), (k + I ) juga bilangan bulat

M dan n dapat ditulis jadi 2 kalisuatu bilangan bulat. Sesuai definisi bilangan genap, maka m + n bilangan genap juga ➨ terbukti

Contoh 3 :

Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n² adalah ganjil.

Jawab

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1.

Akan ditunjukkan bahwa n² ganjil.

n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n²= 2(2k² + 2k) +1

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n² adalah ganjil ➨ terbukti

Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian tidak langsung / kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan

kebenaran kontraposisinya.

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n² bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.

Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedang dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar

maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh 1 : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n², untuk semua bilangan asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n²

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k²,

maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k² + 2k + 1

= (k + 1)²

Sehingga P(k+1) benar

Contoh 2 :

Misalnya:

Jumlah dari n bilangan ganjil yang pertama adalah suatu bilangan kuadrat sempurna,

yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²

Perhatikan bahwa

Untuk n = 1; 1 = 1

Untuk n = 2; 1 + 3 = 4

Untuk n = 3; 1 + 3 + 5 = 9

Untuk n = 4; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, ... dst.

Persamaan ini akan dibuktikan selalu benar untuk semua nilai n = anggota himpunan bilangan asli.

Ada dua langkah dalam induksi matematika:

1. Langkah dasar, yaitu:

Tunjukkan bahwa p(0) berlaku, yaitu untuk satu kasus, p(n) akan bernilai benar

2. Langkah induksi

Tunjukkan p(k+1) bernilai benar jika diketahui p(k) benar

Jika dua langkah di atas dapat ditunjukkan, maka pernyataan awal yaitu p(n) terbukti valid.

Daftar Pustaka: sumber: https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

LOGIKA MATEMATIKA
BY. DAVIN ILHAM WIJAYA KELAS XI IPS 2

Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Hal-hal pada logika matematika yang akan kita pelajari kali ini antara lain mengenai pernyataan, ingkaran, hubungan antara dua kalimat atau lebih serta bagaimana menarik kesimpulan dari kalimat-kalimat yang diberikan. Yuk, simak ulasannya di bawah ini.

Pernyataan
Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.
Contoh:
8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar
4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Ingkaran/negasi/penyangkalan (~)

Dari sebuah pernyataan, kita dapat membuat pernyataan baru berupa “ingkaran/negasi/penyangkalan”. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran:

B = pernyataan bernilai benar
S = pernyataan bernilai salah

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) benar, maka ingkaran (q) akan bernilai salah. Begitu pula sebaliknya. Berikut adalah contoh dalam matematika:
p: Besi memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai benar)
~p: Besi tidak memuai jika dipanaskan (pernyataan bernilai salah).
Contoh lain:
p: Semua unggas adalah burung.
~p: Ada unggas yang bukan burung.

Konjungsi (^)
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Sehingga, notasi “p^q” dibaca “p dan q”.

Tabel nilai kebenaran konjungsi:

Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa konjungsi hanya akan benar jika kedua pernyataan (p dan q) benar.
Contoh:
p: 3 adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
q: 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar)
p^q: 3 adalah bilangan prima dan ganjil (pernyataan bernilai benar)

Disjungsi (V)
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Sehingga notasi “pVq” dibaca “p atau q”.

Tabel nilai kebenaran disjungsi:

Jika kita lihat pada tabel kebenaran, disjungsi hanya salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.
Contoh:
p: Paus adalah mamalia (pernyataan bernilai benar)
q: Paus adalah herbivora (pernyataan bernilai salah)
pVq: Paus adalah mamalia atau herbivora (pernyataan bernilai benar)

Implikasi (->)
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika… maka…” Sehingga notasi dari “p->q” dibaca “Jika p, maka q”.

Adapun tabel nilai kebenaran dari implikasi:

Dari tabel terlihat bahwa implikasi hanya bernilai salah jika anteseden (p) benar, dan konsekuen (q) salah.
Contoh:
p: Andi belajar dengan aplikasi ruangguru. (pernyataan bernilai benar)
q: Andi dapat belajar di mana saja. (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Andi belajar dengan aplikasi ruangguru, maka Andi dapat belajar di mana saja (pernyataan bernilai benar)

Biimplikasi (<->)
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “… jika dan hanya jika”. Sehingga, notasi dari “p<-> q” akan dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Tabel nilai kebenaran Biimplikasi:

Dari tabel kebenaran tersebut, dapat kita amati bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.
Contoh:
p: 30 x 2 = 60 (pernyataan bernilai benar)
q: 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 30 x 2 = 60 jika dan hanya jika 60 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah).

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi adalah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk semau kemungkinannya dikatakan ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “ $\equiv$ “.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen adalah:

bentuk ekuivalen tabel kebenaran
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran Konjungsi: $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$
Ingkaran Disjungsi: $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$
Ingkaran Implikasi: $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$
Ingkaran Biimplikasi: $\sim (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$

Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:
Konvers dari $p \Rightarrow q$ adalah $q \Rightarrow p$
Invers dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim p \Rightarrow \sim q$
Kontraposisi dari $p \Rightarrow q$ adalah $\sim q \Rightarrow \sim p$

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)
Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu:

penarikan kesimpulan logika matematika

Contoh Soal Logika Matematika:
Soal 1:
Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1 : $p \Rightarrow q$
Premis 2 : p
Kesimpulan : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Soal 2:
Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2 : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1 : $p \Rightarrow q$
Premis 2 : $\sim q$
Kesimpulan : ( tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Soal logika matematika 3:
Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2 : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1 : $p \Rightarrow q$
Premis 2 : $q \Rightarrow r$
Kesimpulan : $p \Rightarrow r$ (silogisme)
Jadi kesimpulannya : Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

TABEL LOGIKA MATEMATIKA

MATEMATIKA

PEMBUKTIAN : LANGSUNG, TIDAK LANGSUNG, KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA