TRANSFORMASI MATRIKS

 TRANSFORMASI DENGAN PERHITUNGAN MATRIKS

Misalkan peta titik A(x, y) oleh transformasi T adalah A'(x', y'). Matriks $M=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ kita sebut dengan matriks yang bersesuaian dengan transformasi T jika memenuhi persamaan matriks berikut

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

Matriks Refleksi (Pencerminan)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(x', y'). 

Perhatikan gambar

$$Berdasarkan\; gambar\; diatas,\; koordinat\; A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'})\; dapat\; kita\; tulis\; dalam\; persamaan$$$$x\text{'}\; =\; -x \; \; \iff \; x\text{'}\; =\; (-1)x +\; (0)y$$$$y\text{'}\; =\; -y \; \; \iff \; y\text{'}\; =\; (0)x +\; (-1)y$$$$Dalam\; persamaan\; matriks\; kita\; tulis[x\prime y\prime ]=[-100-1][xy][x\prime y\prime ]=[-100-1][xy]$$

Jadi, matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O adalah

$$M_O=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

Dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh matriks-matriks pencerminan lainnya 

$$sebagai\; berikut\; :$$$$Matriks\; pencerminan\; terhadap\; sumbu\; xMx=[100-1]Mx=[100-1]Matriks\; pencerminan\; terhadap\; sumbu\; yMy=[-1001]My=[-1001]Matriks\; pencerminan\; terhadap\; garis\; y\; =\; xMy=x=[0110]My=x=[0110]Matriks\; pencerminan\; terhadap\; garis\; y\; =\; -xMy=-x=[0-1-10]My=-x=[0-1-10]$$$$Jawab :$$$$[-4-2]=[1-00-1][xy][-4-2]=[1-00-1][xy][-4-2]=[-x-y][-4-2]=[-x-y]Dari\; persamaan\; matriks\; diatas\; kita\; peroleh$$$$4\; =\; x \; \; \; \to \; x\; =\; 4$$$$-2\; =\; -y \; \; \to \; y\; =\; 2$$$$Contoh\; Soal:$$$$Bayangan\; garis\; 2x +\; y\; -\; 3\; =\; 0\; jika\; dicerminkan\; terhadap\; pusat\; O\; adalah\; ...$$$$Jawab :[x\prime y\prime ]=[-100-1][xy][x\prime y\prime ]=[-100-1][xy][x\prime y\prime ]=[-x-y][x\prime y\prime ]=[-x-y]$$$$Dari\; persamaan\; matriks\; diatas\; kita\; peroleh$$$$x\text{'}\; =\; -x \; \to \; x\; =\; -x\text{'}$$$$y\text{'}\; =\; -y \; \to \; y\; =\; -y\text{'}$$$$Substitusi\; x\; =\; -x\text{'}\; dan\; y\; =\; -y\text{'}\; ke\; garis\; 2x +\; y\; -\; 3\; =\; 0$$$$2$$$$-2x\text{'}\; -\; y\text{'}\; -\; 3\; =\; 0$$$$2$$$$Jadi,\; bayangannya\; adalah\; 2x\; +\; y\; +\; 3\; =\; 0$$$$Matriks\; Rotasi\; (Perputaran)\; Misalkan\; peta\; titik\; A(x,\; y)\; oleh\; rotasi\; dengan\; pusat\; O\; sejauh\; \theta \; adalah\; A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'}). Perhatikan\; gambar$$$$Dari\; segitiga\; siku-siku\; OBA\; diperoleh$$$$y\; =\; r\; sin\; \alpha$$$$Dari\; segitiga\; siku-siku\; OCA\text{'}\; diperoleh\; x\text{'}\; =\; r\; cos\; (\alpha \; +\; \theta )\; x\text{'} =\; r\; (cos\; \alpha \; cos\; \theta \; -\; sin\; \alpha \; sin\; \theta )\; x\text{'} = r\; cos\; \alpha cos\; \theta \; - r\; sin\; \alpha sin\; \theta \; x\text{'} = x cos\; \theta \; - y sin\; \theta$$$$y\text{'}\; =\; r\; sin\; (\alpha \; +\; \theta )\; y\text{'} =\; r\; (sin\; \alpha \; cos\; \theta + cos\; \alpha \; sin\; \theta )\; y\text{'} = r\; sin\; \alpha cos\; \theta + r\; cos\; \alpha sin\; \theta \; y\text{'} = y cos\; \theta + x sin\; \theta \; y\text{'} =\; x\; sin\; \theta +\; y\; cos\; \theta$$$$Dalam\; persamaan\; matriks\; kita\; tulis[x\prime y\prime ]=[cos\theta -sin\theta sin\theta cos\theta ][xy][x\prime y\prime ]=[cos\theta -sin\theta sin\theta cos\theta ][xy]Jadi,\; matriks\; yang\; bersesuaian\; dengan\; rotasi\; terhadap\; pusat\; O\; sebesar\; \theta \; adalahM[O,\theta ]=[cos\theta -sin\theta sin\theta cos\theta ]M[O,\theta ]=[cos\theta -sin\theta sin\theta cos\theta ]$$

$$Contoh\; soal\; :$$$$[x\prime y\prime ]=[cos(-90\circ )-sin(-90\circ )sin(-90\circ )cos(-90\circ )][-43][x\prime y\prime ]=[cos(-90\circ )-sin(-90\circ )sin(-90\circ )cos(-90\circ )][-43][x\prime y\prime ]=[01-10][-43][x\prime y\prime ]=[01-10][-43][x\prime y\prime ]=[34][x\prime y\prime ]=[34]Jadi,\; peta\; titik\; A\; adalah\; A\text{'}(3,\; 4)$$$$Contoh\; soal\; :$$$$Bayangan\; garis\; y\; =\; 2x +\; 1\; oleh\; rotasi\; dengan\; pusat\; O\; sebesar\; 180°\; adalah\; ...$$$$[x\prime y\prime ]=[cos180\circ -sin180\circ sin180\circ cos180\circ ][xy][x\prime y\prime ]=[cos180\circ -sin180\circ sin180\circ cos180\circ ][xy][x\prime y\prime ]=[-100-1][xy][x\prime y\prime ]=[-100-1][xy][x\prime y\prime ]=[-x-y][x\prime y\prime ]=[-x-y]$$$$Dari\; persamaan\; matriks\; diatas\; diperoleh$$$$x\text{'}\; =\; -x \; \to \; x\; =\; -x\text{'}$$$$y\text{'}\; =\; -y \; \to \; y\; =\; -y\text{'}$$$$Substitusi\; x\; =\; -x\text{'}\; dan\; y\; =\; -y\text{'}\; ke\; garis\; y\; =\; 2x +\; 1$$$$-y\text{'}\; =\; 2(-x\text{'})\; +\; 1$$$$-y\text{'}\; =\; -2x\text{'} +\; 1$$$$y\text{'}\; =\; 2x\text{'}\; -\; 1$$$$Jadi,\; bayangannya\; adalah\; y\; =\; 2x\; -\; 1$$$$Matriks\; Dilatasi\; (Perkalian)Misalkan\; peta\; titik\; A(x,\; y)\; oleh\; dilatasi\; dengan\; pusat\; O\; dan\; faktor\; skala\; k\; adalah\; A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'}).$$$$Perhatikan\; gambar\; berikut\; :$$$$Berdasarkan\; gambar\; diatas,\; koordinat\; A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'})\; dapat\; kita\; tulis\; dalam\; persamaan$$$$x\text{'}\; =\; kx \; \; \iff \; x\text{'}\; =\; kx +\; 0y$$$$y\text{'}\; =\; ky \; \; \iff \; y\text{'}\; =\; 0x +\; ky$$$$Dalam\; persamaan\; matrik\; kita\; tulis$$$$[x\prime y\prime ]=[k00k][xy][x\prime y\prime ]=[k00k][xy]dengan\; matriks\; dilatasinyaM[O,k]=[k00k]M[O,k]=[k00k]Untuk\; pusat\; (a,\; b),\; persamaan\; matriksnya\; adalah[x\prime -ay\prime -b]=[k00k][x-ay-b]$$$$Contoh\; Soal\; :$$$$Peta\; titik\; R(1,\; 3)\; oleh\; dilatasi\; dengan\; pusat\; (-2,\; 4)\; dan\; faktor\; skala\; -2\; adalah\; ...$$$$Jawab :$$$$Titik\; R\; :\; (x,\; y)\; =\; (1,\; 3)$$$$Pusat\; dilatasi\; :\; (a,\; b)\; =\; (-2,\; 4)$$$$Faktor\; skala\; :\; k\; =\; -2$$$$Peta\; titik\; R\; :\; (x\text{'},\; y\text{'})\; =\; ?$$$$Persamaan\; matriksnya$$$$[x\prime -ay\prime -b]=[k00k][x-ay-b][x\prime -ay\prime -b]=[k00k][x-ay-b][x\prime +2y\prime -4]=[-200-2][1+23-4][x\prime +2y\prime -4]=[-200-2][1+23-4][x\prime +2y\prime -4]=[-200-2][3-1][x\prime +2y\prime -4]=[-200-2][3-1][x\prime +2y\prime -4]=[-62][x\prime +2y\prime -4]=[-62]$$$$Dari\; persamaan\; matriks\; diatas\; kita\; peroleh$$$$x\text{'} +\; 2\; =\; -6 \; \to \; x\text{'}\; =\; -8$$$$y\text{'}\; -\; 4\; =\; 2 \; \; \; \to \; y\text{'}\; =\; 6$$$$Jadi,\; peta\; titik\; R\; adalah\; R\text{'}(-8,\; 6)$$$$Matriks\; Translasirumus\; dasar\; :(x\prime y\prime )(x\prime y\prime )=(xy)+(ab)=(xy)+(ab)Matrix\; ab\; memetakkan\; matrix\; xy\; menjadi\; x\text{'}y\text{'}contoh\; soal\; :Titik\; A(-3,\; 5)\; ditranslasikan\; dengan\; T1 (2,\; -7)\; kemudian\; dilanjutkan\; dengan\; translasi\; T2 (3,\; -2).\; Tentukan\; koordinat\; akhir\; titik\; A\; tersebut\; !jawab\; :$$$$https://smatika.blogspot.com/2017/11/matriks-transformasi-geometri.html$$