MATEMATIKA

12 January 2021

By. Davin Ilham Wijaya (10) XI IPS 2

Konsep Limit Fungsi Aljabar

Limit bisa diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak bisa dicapai. Pada bahasa matematika, keadaan ini biasa disebut limit. Kenapa harus ada limit? karnalimit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati.

Kenapa harus didekati? karena pada suatu fungsi biasanya tak terdefinisi pada suatu titik tertentu. Meskipun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, Akan tetapi masih bisa dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

Rumus Limit

Dalam dunia matematika, Limit biasa di tuiskan sebagai berikut

Keterangan :

Apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L
Pendekatan x ke a bisa dilihat dari dua sisi yaitu pada sisi kiri dan sisi kanan ataupun dengan kata lain x bisa mendekati dari arah kiri dan arah kanan hingga menghasilkan limit kiri serta limit kanan

Sifat Fungsi Limit Aljabar

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat yang berlaku yaitu:

Macam-Macam Metode Limit Aljabar

metode subitusi
metode pemfaktoran
metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut
metode mengalikan dengan faktor sekawan

1. Metode Subsitusi

Metode subsitusi hanya mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya

Contoh

Jadi nilai fungsi limit baljabar adalah

2. Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran dipakai jika metode subsitusi yang menghasilkan nilai limit tidak terdefinisikan

Contoh :

Metode pemfaktoran dilakukan dengan menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya.

Contoh :

Tentukanlah nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal yaitu 2, jadi,

Maka, nilailimit fungsi aljabar tersebut adalah

Contoh soal :

Tentukan nilai limit dari

Langkah pertama yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit adalah dengan mensubtitusikan x = c ke f(x), hingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu

Maka itu untuk menentukan nilai suatu limit wajib menggunakan metode lain. Jika diperhatikan, pada f (x) ada bentuk akar yaitu

Sehingga metode perkalian dengan akar sekawaran bisa dilakukan pada kasus seperti ini.

Bentuk

bisa difaktorkan jadi

Maka, nilai limit fungsi aljabar tersebut ialah -4

Daftar Pustaka : https://rumusrumus.com/limit-fungsi-aljabar/

SOAL-SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA

PAS SEMESTER GANJIL KELAS 11

16 NOVEMBER 2020

Davin Ilham Wijaya (10)

XI IPS 2

PEMBAHASAN :

1. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan jadi nyaman

2. Terbukti

3. Terbukti

4. Terbukti

5. Terbukti

6. Akan terbukti benar jika 3 + 24.5^2k habis dibagi 9

7. Penjelasan dengan langkah-langkah:

n_>5={1,2,3,4,5}

2n-3<2n-2 =2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0(benar)

2(2) -3<2(2) -2 =1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2 =3<4(benar)

2(4) -3<2(4) -2 =5<6( benar)

2(5) -3<2(5) -2 =7<8( benar)

8. Dari persamaan tersebut yaitu :

2x - 3y = 13 persamaan 1 dikalikan 1

x + 2y = 4 persamaan 2 dikalikan 2

jadi : 2x + 4y = 8

2x - 3y = 13

----------------------

7y = 21

y = 3

Subsitusikan y = 3 ke persamaan 1

2x - 3y = 13

2x - 3.3 = 13

2x = -4

x = -2

jadi x = -2 dan y = 3

9. Diketahui :

5kg gula + 30kg beras = 410.000

2kg gula + 60kg beras = 740.000

Dit : 2kg gula + 5kg beras ?

Jwb :

gula = x

beras = y

5x + 30y = 410.000 |*2

2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000

2x + 60y = 740.000

_______-

8x = 80.000

x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan

2x + 60y = 740.000

2(10.000) + 60y = 740.000

20.000 + 60y = 740.000

60y = 720.000

y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000

maka 2kg gula dan 5kg beras

= 2(10.000) + 5(12.000)

= 20.000 + 60.000

= Rp 80.000

10. Tentukan daerah bersih dari pertidaksamaan linear berikut 5x + 3y ≤ 15

jawaban :

5x + 3y ≤ 15 uji 0

x = 0 | x = 0 5(0) + 3(0) ≤ 15

y = 5 | y = 3 0 ≤ 15 (benar)

11. 2x - 5y > 20

Cara penyelesaian :

a. Mencari x dan y

x 0 10

y -4 0

b. Menentukan dan letak daerah kotor

2(0) - 5(0) > 20

0 > 20 (salah)

c. Membuat garis koordinat

12. 5x + 6y ≥ 30 (0,5) (6,0) *karena a positif dan tanda ≥ maka daerahnya berada di kanan garis

2x + y ≤ 0 (0,0) (0,0) *karena a negatif dan tanda ≤ maka daerahnya berada di kanan garis

Y ≥ 2 *daerah berada pada rentang y ≥ 2, y € r

Maka daerah penyelesaian dari model mtk tsb berada di daerah III

13. Daerah yang diarsir pada gambar adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Penyelesaian Soal :

LANGKAH PERTAMA (I)

Buatlah sistem pertidaksamaan pada setiap garis dengan menggunakan cara sebagai berikut :

Persamaan garis I melalui titik (0,6) dan (10,0) sehingga :

ax + by = ab

6x + 10y = 6.10

6x + 10y = 60 .... (÷2)

3x + 5y = 30

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke bawah atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0) pernyataan dikatakan benar :

3x + 5y = 30

3.0 + 5.0 = 30

0 + 0 = 30

0 ≤ 30 (Benar)

Pertidaksamaannya : 3x + 5y ≤ 30

Persamaan garis II melalui titik (0,-4) dan (2,0) sehingga :

ax + by = ab

-4x + 2y = (-4).2

-4x + 2y = -8 .... (÷ 2)

-2x + y = -4

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke sisi kiri atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0) pernyataan dikatakan benar :

-2x + y = -4

(-2).0 + 0 = -4

0 + 0 = -4

0 ≥ -4 (Benar)

Pertidaksamaannya :

-2x + y ≥ -4 .... (× -1)

2x - y ≤ 4

Kemudian pada arsiran juga terdapat garis x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Sehingga pertidaksamaannya adalah :

3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.

14. Nilai Maksimum 3x + 2y ?

x + y > 5

sumbu x ; y = 0 ( 5, 0)

sumbu y ; x = 0 ( 0, 5)

maka Nilai Maksimumnya adalah

3x + 2y

( 5, 0) = 3(5) + 2(0) = 15

(0, 5) = 3(0) + 2(5) = 10

Nilai maksimum nya adalah 15

15. Diketahui:

X = banyaknya sedan

Y = banyaknya truk

Luas Parkiran:

sedan= 15

Truk = 15

Kapasitas 420

Kuantitas:

sedan= 1

Truk = 1

Kapasitas 60

Jawab:

• Persamaan garis 1 : 5x + 15y = 4200

Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh

5x + 15y = 4200 disederhanakan menjadi

5x + 15y ≤ 4200

• Persamaan garis 2 : x + y = 60

Titik (0,0) merupakan salah satu himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan tersebut sehingga diperoleh

x + y = 60 disederhanakan menjadi

x + y ≤ 60

• Kendala non negative diberikan oleh

X ≥ 0, y ≥ 0

•Jadi model matematika nya

5x + 15y ≤ 4200; 4x + y ≤ 60 ; x ≥ 0, y ≥ 0

Jawaban: 5x + 15y ≤ 4200; 4x + y ≤ 60 ; x ≥ 0, y ≥ 0

16. Diketahui :

- Model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.

- Model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.

- Persediaan kain polos 20 m

- persediaan kain bergaris 20 m

- Harga jual model I Rp.150.000,00

- Harga jual model II Rp.100.000,00

Dit : Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh = ...

Jawab :

(1) Kita Buat Tabel Untuk memudahkan:

Model || Polos || Garis || Harga

I || 1 || 3 || 150.000

II || 2 || 1 || 100.000

Stok || 20 || 20 || maksimum

(2) Kita buat kalimat matematika dari Tabel diatas Dengan kain polos sebagai (x) dan kain bergaris sebagai (y) :

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(3) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

⇒ 2y = 20

⇒ y = 20/2

⇒ y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

⇒ x + 0 = 20

⇒ x = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

⇒ 0 + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

⇒ 3x + 0 = 20

⇒ 3x = 20

⇒ x = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20 | x 1 | x + 2y = 20

3x + y = 20 | x 2 | 6x + 2y = 40

============ -

-5x = -20

x = 20/5

x = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

y = 20 - 12

y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

17.

18.

Det(AtB) = (10.34) – (12.12) = 340 – 144 = 196

19. Diketahui

A =

Matriks A tidak mempunyai invers

Ditanyakan x = .... ?

Jawab

Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol

Jadi

|A| = 0
(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0
10x + 5 – 18x + 3 = 0
8 – 8x = 0
8 = 8x
x =

x = 1

20.

21.

22. Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut. 1-4 Matriks

Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

23. Diketahui:

pensil (x)
penghapus (y)
Jawab:

5x + 3y = 11.500 | x2 | 10x + 6y = 23000
4x + 2y = 9000 | x3 | 12x + 6y = 27000
——————-—-
-2x = -4000
x = 2000

5x + 3y = 11500
5(2000) + 3y = 11500
10000+ 3y = 11500
3y = 1500
y = 500

6(2000) + 5(500)
12000 + 2500
=14.500

24. Diketahui:

    Kacang  Keripik  Permen
Kantin A       10          10          5
Kantin B       20          15          8
Kantin C       15          20        10           (Dalam satuan bungkus)

Harga sebungkus kacang, sebungkus keripik, dan sebungkus permen berturut-turut adalah Rp 2.000,00; Rp 3.000,00; dan Rp 1.000,00.
Hitunglah pemasukan harian yang diterima Bu Ani dari setiap kantin serta total pemasukan harian dengan penyajian bentuk matriks.

Penyelesaian:

Banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya adalah,

Matriks A =

Matriks harga makanan adalah,

Matriks B =

⇔ AB = pemasukan harian Bu Ani
⇔ AB =
⇔       =
⇔       =
⇔       =

Jadi, pemasukan harian yang diterima Bu Ani dari setiap kantin A, kantin B, dan kantin C berturut-turut adalah Rp 55.000,00; Rp 93.000,00; dan Rp 100.000,00.

Total pemasukan harian Bu Ani dari seluruh kantin adalah Rp 55.000,00 + Rp 93.000,00 + Rp 100.000,00 = Rp 248.000,00

25. dari soal tersebut terdapat persamaan :

x + y = 16
3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks:

Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.

26. Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x

Pencerminan terhadap garis y = -x

A(a, b) → gr y = -x → A'(-b, -a)

A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)

27. (x, y) dicerminkan thp sumbu x : (x, -y) kemudian

(x, -y) dicerminkan thp sumbu y : (-x, -y)
Jadi
-x = x' => x = -x'
-y = y' => y = -y'

Bayangan dari : y = 3x² + 2x - 1 adalah
(-y') = 3(-x')² + 2(-x') - 1
-y' = 3x'² - 2x' - 1
y = -3x² + 2x + 1

28. Matriks refleksi y = x adalah:

Matriks rotasi 90° berlawanan jarum jam di pusat (0,0) adalah:

Menghasilkan komposisi transformasi:

Memberikan:

Yang mana:
x = -x'
y = y'

Substitusi ke persamaan yang akan menghasilkan:

29. Step-1 pencerminan garis x = k

Untuk x = 2

(x' , y') = (2(2) - x, y)

(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2

Step-2 translasi (- 3, 4)

Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.

(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)

(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)

(x", y") = (1 - x, y + 4)

Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4

Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi

Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4

⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4

Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan

⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4

⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4

⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0

Kesimpulan

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran

30. A(3,-2) dipetakan oleh T(1 -2)

x' = x + 1 = 3 + 1 = 4
y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4
Bayangan A = A' = (4,-4)
dilanjutkan rotasi [O , 90°]
x" = -y' = -(-4) = 4
y" = x' = 4
Bayangan akhir = A" = (4,4)

31.