MATEMATIKA

MATEMATIKA BAB 5 KELAS 11

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL,

BUNGA MAJEMUK,

BUNGA ANUITAS, PELURUH

16 NOVEMBER 2020

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan jumlah pada tiap periode waktu berdasarkan suatu rasio pertumbuhan. Jika jumlah awal adalah $J_0$ dan rasio adalah r per tahun, maka pada akhir tahun ke-n, jumlah akhirnya menjadi $J_n$ :

$J_n = J_0(1+r)^n$

Contoh, jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun, maka pada akhir tahun ke-4, jumlahnya

$J_n = 10.000 (1+0.05)^4 = 12.155\ jiwa$

Bunga

Bunga (suku bunga) atau bank interest adalah pertambahan jumlah modal yang diberikan oleh bank untuk para nasabahnya dengan dihitung dari presentase modal uang nasabah dan lamanya menabung. Bunga juga bisa diberikan oleh pemberi pinjaman kepada pinjaman. Bunga ada dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Berikut ini perbedaannya :

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode.

Modal adalah jumlah dari yang dibungakan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum dibungakan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang dibungakan.Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam persentase tiap satuan waktu.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+n \cdot b)$

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.

Jika modal awal sebesar $M_0$ mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya $M_n$ menjadi:

$M_n = M_0(1+b)^n$

Contoh, diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah

$M_n = 1.000.000(1+0.02)^5 = 1.104.080,80$

Jika modal awal sebesar $M_0$ disimpan di bank mendapatkan bunga sebesar b pertahun dan perhitungan bunga dihitung sebanyak m kali dalam setahun, maka besar modal pada akhir tahun ke-n adalah :

$M_n = M_0(1+\frac{b}{m})^{mn}$

Contoh, $M_0 = 1.000.000$ , $m = 12\ kali$ , $n = 2\ tahun$ , dan $b = 6 \%$ , maka

$M_n = 1.000.000(1+\frac{0.06}{12})^{12 \times 2} = 1.127.159,78$

Penyusutan/Peluruh

Penyusutan atau depresiasi adalah pengurangan nilai dari harta tetap terhadap nilai buku atau nilai beli awalnya. Penyusutan dilakukan secara berkala dalam rangka pembebanan biaya pada pendapatan, baik atas penggunaan harta tersebut maupun karena sudah tidak memadai lagi.

Ada dua istilah dalam penyusutan yaitu, nilai buku dan nilai beli. Nilai beli merupakan harga awal ketika melakukan pembelian barang. Sedangkan nilai buku adalah nilai setelah terjadi penyusutan dimana nilainya tiap periode akan semakin kecil.

Jika harga sebuah barang pada saat dibeli adalah $M_0$ dan mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari harga belinya, maka nilai barang pada akhir tahun ke-n adalah :

$M_n = M_0(1 - np)$

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut harganya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

$M_n = 100.000.000(1 - 5 \times 0.1) = 50.000.000$

Besar nilai (harga) penyusutan tiap tahun adalah :

$P = M_0.p$

$P = 100.000.000 \times 0.1 = 10.000.000$

Jika suatu barang mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari nilai bukunya sendiri, maka pada akhir tahun ke-n, nilai barangnya adalah :

$M_n = M_0(1 - p)^n$

Besar nilai (harga) penyusutan pada tahun ke-n adalah

$P_n = M_{n-1}(p)(1 - p)^{(n-1)}$

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut nilai bukunya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

$M_5 = 100.000.000 (1 - 0.1)^5 = 59.049.000$

$P_n = 65.610.000 (0.1) (1 - 0.1)^{(5-1)} = 4.304.672$

Anuitas

Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:

Besar pinjaman
Besar bunga
Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :

$Anuitas = Bunga\ atas\ hutang\ + Angsuran\ hutang$

Jika utang sebesar $M_o$ mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :

Besar bunga pada akhir periode ke-n

$B_n = (1+b)^{n-1}(b \cdot M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke-n

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke-n

$M_n = (1+b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Contoh Soal Bunga Tunggal/Majemuk/Anuitas dan Pembahasan:

1. Contoh soal bunga tunggal:

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

Pembahasan :

$M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000$

Jika modal awal sebesar $M_0$ , dan diketahui jumlah bunga tunggalnya B, maka besar persentase bunga tunggalnya b adalah

$b = \frac{B}{M_0} \times 100 \%$

Contoh lain: Diketahui bunga tunggal sebesar Rp50.000 untuk modal pinjaman Rp1.000.000, maka presentasenya adalah

$b = \frac{50000}{1000000}\times 100 \% = 5 \%$

2. Contoh Soal Bunga Majemuk

Modal sebesar Rp10.000.000,00 dipinjamkan dengan bunga majemuk 2% per tahun. Pada permulaan tahun ketiga, modal itu menjadi?

Pembahasan :

$M_n = M_0(1+b)^n$

$M_0 = 10.000.000(1 + 0,02)^2$ (n = 2, karena awal tahun ke-3 sama dengan akhir tahun ke-2)

$M_n = 10.000.000(1,02)^2$

$M_n = 10.404.000,00$

3. Contoh Soal Anuitas

Sebuah pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 akan dilunasi secara anuitas tahunan sebesar Rp4.000.000,00. Jika suku bunga 5% per tahun, besar angsuran, bunga, dan sisa hutang tahun ketiga adalah?

Pembahasan :

Angsuran

$A_n = (1+b)^{n-1}(A - bM)$

$A_n = (1+0,05)^{3-1}(4.000.000 - (0,05)20.000.000)$

$A_n = (1,05)^2(4.000.000 - 1.000.000)$

$A_n = (1,1025)(3.000.000)$

$A_n = 3.307.500,00$

Bunga

$B_n = (1+b)^{n-1}(b.M - A) + A$

$B_n = (1+0.05)^{3-1}(0.05 \times 20.000.000 - 4.000.000) + 4.000.000$

$B_n = (1,05)^2(-3.000.000) + 4.000.000 = -3.307.500 + 4.000.000$

$B_n = 692.500,00$

Sisa hutang
$M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$
$M_n = (1 + 0.05)^3(20.000.000 - \frac{4.000.000}{0.05})+ \frac{4.000.000}{0.05}$
$M_n = (1.157625)(-60.000.000) + 80.000.000$
$M_n = 10.542.500,00$
4. Contoh Soal Anuitas

Sebuah pinjaman sebesar Rp850.000.000,00 yang harus dilunasi dengan 6 anuitas jika dasar bunga 4% per bulan dan pembayaran pertama dilakukan setelah sebulan. Sisa hutang pada akhir bulan kelima adalah?

Pembahasan :

$A = \frac{b(M_0)(1+b)^n}{(1+b)^n-1}$

$A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1+0,04)^6}{(1+0,04)^6-1}$

$A = \frac{(0,04)(850.000.000)(1,04)^6}{(1,04)^6-1}$

$A = \frac{43.020.846,63}{0,2265319}$

$A = 162.147.628,43$

Sisa hutang pada akhir periode ke-5 adalah

$M_n = (1+b)^n(M - \frac{A}{b} + \frac{A}{b})$

$M_n = (1 + 0,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}$

$M_n = (1,04)^5(850.000.000 - \frac{162.147.628,43}{0,04}) + \frac{162.147.628,43}{0,04}$

$M_n = 155.911.109,00$

Daftar Pustaka :

https://www.studiobelajar.com/bunga-tunggal-majemuk-anuitas/

MATEMATIKA GEOMETRI

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

9 NOVEMBER 2020

Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

$\frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = r$

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

$r = \frac{16}{8} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k \cdot r^{(n - k)}$

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama $U_k = a$ dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai $U_n$ adalah:

$U_n = a \cdot r^{(n - 1)}$

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai :

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n - 1)} + U_n$

Atau sebagai:

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}$

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = a\frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

$S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}$

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

$U_n = S_n - S_{(n - 1)}$

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:

$r = \sqrt[q + 1]{\frac{p}{a}}$

Contoh Soal Deret Geometri

1. Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 +…

Jawaban :

Diketahui a = 4 dan r = 3

S7 = 4(rn - 1) / (r - 1)
S7 = 4(37 - 1) / (3 - 1)
S7 = 4372

Jadi jumlah 7 suku pertama dalam deret tersebut adalah 4372.

2. Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan: